المصفوفات

المسألة

يمثل الجدول الآتي علامات مجموعة من الطلبة في بعض المواد. يريد أحد المعلمين تنظيم هذه العلامات بطريقة تسهل قراءتها:


الرياضيات
العلوم
اللغة الإنجليزية
اللغة العربية
محمد
96
97
91
95
أحمد
90
95
94
94
عدي
98
98
97
95
لؤي
99
98
96
97


كيف يمكنك مساعدة هذا المعلم على تنظيم تلك البيانات؟

معلومات سابقة


تحتوي ملفات المؤسسات العامة والخاصة على الكثير من البيانات التي تساهم في تصميم المشاريع، والخطط المستقبلية، واليومية وتنفيذها؛ لذا لابدّ من وجود طريقة تُسهّل تنظيم هذه البيانات وإجراء العمليات عليها.
تعلّمت سابقاً تمثيل البيانات عن طريق الجداول
تدريب
إذا كانت أرباح خمس شركات أ ، ب ، جـ ، د ، هـ على التوالي كما يلي
150000 ، 120000، 90000، 160000، 100000
نَظِّم البيانات السابقة في جدول
تدريب
أحضِرْ دفتر العلامات الخاص بمعلمك، وسَجِّلْ ملاحظاتك عن طريقة تنظيمه
الشرح


مثال (1):
تنوي مؤسسة إسكان إنشاء ثلاثة مشاريع سكنية، بحيث يحتوي كلّ مشروع على أربعة نماذج من الوَحدات السكنية أ، ب،ج، د .
يتكوّن المشروع الأول من (10 ) وَحدات سكنية من نموذج أ، و(50 ) وَحدة من نموذج ب، و(70 ) وَحدة من نموذج ج، و(20 ) وَحدة من نموذج د . ويتكّون المشروع الثاني من (50 ) وَحدة من نموذج أ، و(60 ) وَحدة من نموذج ب، و(20 ) وَحدة من نموذج ج، و (10 ) وَحدات من نموذج د . بينما يتكّون المشروع الثالث من ( 5 ) وَحدات من نموذج أ، و (15 ) وَحدة من نموذج ب، و(90 ) وَحدة من نموذج ج، و(40 ) وَحدة من نموذج د.
كيف يمكنك تنظيم المعلومات السابقة بطريقة يسهل الانتفاع منها؟
الحلّ:
يصعبُ تذكُّر البيانات( كما هي معطاة سابقاً)، ويمكن ترتيبها على شكل مستطيل، مكوّن من 3 صفوف و4 أعمدة، بحيث يمثّل الصف أعداد الوحدات السكنية، حسب النموذج في كلّ عمود.
وإليك تنظيم المعلومات السابقة على شكل مستطيل:

ويُسمّى هذا التنظيم مصفوفة .
وتُسمّى المصفوفة بأحرف، مثل: ( أ ) أو (ب ) أو ( جـ ) ... .
ويمكن تنظيمها كما يلي:

وتُسمّى العناصر التي تكّون المصفوفة مدخلات المصفوفة .
إذن :
المصفوفة : تنظيم من العناصر، مرتبة على شكل مستطيل، مكّون من عدد من الصفوف والأعمدة .
لاحظ أنّ عدد الصفوف في المصفوفة السابقة 3 ، وعدد الأعمدة 4 .
بشكل عام، إذا كانت أ مصفوفة مكّونة من ل من الصفوف، و م من الأعمدة، فتُكتَب المصفوفة أ على الشكل التالي :

حيث إنّ (أ) مصفوفة، رتبتها ل × م ( تقرأ : أ مصفوفة ، رتبتها ل في م )، حيث ل تدل على عدد الصفوف، و م تدل على عدد الأعمدة.
فمثلاً، المدخلة أ 12 هي العنصر الذي يقع في الصف الثاني، والعمود الأول.
سؤال :
تأمّل المصفوفة في المثال السابق، ثمّ أجِبْ عن الأسئلة التالية :
1- علامَ تدلّ مدخلات الصف الأول؟
2- علامَ تدلّ مدخلات العمود الثالث ؟
3- ما مدخلات الصف الثاني؟
4- جد قيمة كلّ من المدخلات التالية :
أ31 ، أ42 ، أ23 ، أ32
تدريب:
إذا كانت

أجِبْ عن الأسئلة التالية :
1- ما عدد صفوف المصفوفة ؟
2- ما عدد أعمدة المصفوفة ؟
3- جِدْ رتبة المصفوفة ب ؟
4- جِدْ قيمة ب21؟
مثال (2) :
جد رتبة كلّ من المصفوفات التالية :

المصفوفة الصفرية : هي المصفوفة التي جميع مدخلاتها أصفار.

المصفوفة المربعة : هي المصفوفة التي عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها .

مصفوفة الصف : هي المصفوفة التي تتكّون من صف واحد فقط، بغضّ النظر عن عدد الأعمدة، ويرمز لها بالرمز أ 1 × م.

مصفوفة العمود : هي المصفوفة التي تتكّون من عمود واحد فقط، بغضّ النظر عن عدد الصفوف، ويرمز لها بالرمز أل × 1.

مصفوفة الوحدة: هي مصفوفة مربعة ، جميع مدخلاتها أصفار، ما عدا القطر، فمدخلاته العدد 1 .

* ( تتساوى مصفوفتان إذا كان لهما البعد نفسه ، وكانت المدخلات المتناظرة متساوية ).
تدريب :
أيّ أزواج المصفوفات التالية متساو؟ لماذا؟

ويمكن الاستفادة من تساوي المصفوفات في إيجاد قيم المجاهيل كما في الأمثلة الآتية .
مثال (3):
إذا كانت

جــــــــــــــــــــد قيمة س .
الحلّ:
لاحظ أنّ س2 تقع في الصف الأول، والعمود الثالث ، وهي تناظر العدد 9 ؛ لذا:
س2 = 9
س = 3 ، أو س = - 3 .
مثال (4):
إذا كانت

جد قيمة س، ص.
الحلّ :
من تساوي المصفوفات، يجب أن تكون المدخلات المتناظرة متساوية.
إذن، س2 - 5 س = -6
س2 - 5 س + 6 = 0.
إذن، ( س -2 ) ( س – 3 ) = 0.
أمّا س -2 = 0، إذن، س = 2.
أو س – 3 = 0 ، إذن، س = 3.
إذن، س =2 ، أو س= 3
ص = 2 .
تدريب :
إذا كانت

جد قيمة كلّ من س ، ص، ل .

الاستنتاج


1- المصفوفة: منظومة المدخلات أو العناصر المرتبة في صفوف وأعمدة ، وتوضع هذه المدخلات بين القوسين [] ، ويرمز إليها بأحد الحروف وتحته خط ، مثل : أ ، ب ، جـ ، ... ، إلخ.
2- تتساوى مصفوفتان إذا كان لهما البعد نفسه ، وكانت المدخلات المتناظرة متساوية .
3- المصفوفة الصفرية : مصفوفة جميع مدخلاتها أصفار.
4- المصفوفة المربعة : مصفوفة عدد صفوفها يساوي عدد أعمدتها .
5- مصفوفة الصف : مصفوفة تتكوّن من صف واحد فقط ، بغضّ النظر عن عدد الأعمدة ، ويرمز لها بالرمز أ1 × م.
6- مصفوفة العمود : مصفوفة تتكوّن من عمود واحد فقط ، بغضّ النظر عن عدد الصفوف، ويرمز لها بالرمز أ ل × 1.
7- مصفوفة الوحدة: مصفوفة مربعة، جميع مدخلاتها أصفار، ما عدا القطر، فمدخلاته العد
يُخطِئ الكثير من الطلبة في تمييز رمز المصفوفة من رمز المدخل.

شكرا ابو حديد على الموضوع

شكرا على الموضوع وعلى الشرح

يسلمو ايديك على الدرس و الشرح

شكرا على المعلومات القيمة.
يعطيك الصحة.